摘要：采用可壓縮流體的高階有限容積法(FVM)及其系列改進算法對燃氣管道進行了穩(wěn)態(tài)分析，探討了數(shù)學模型的建立和數(shù)學模型的求解。通過實例對比可知，F(xiàn)VM方法具有較快的運算速度和較好的收斂性，計算結果較準確。

關鍵詞：燃氣管道；穩(wěn)態(tài)分析；水力計算；有限容積法

LIU Xiaojing，ZHOU Weiguo，WANG Hai

Abstract：The steady-state analysis of gas pipeline is conducted using compressible fluid high-order finite volume method(FVM)and its improved algorithms.The establishment and solution of mathe-matical model are discussed.The ease comparison shows that FVM has rapider operation speed，better convergence and exact calculation result.

Key words：gas pipeline；steady-state analysis；hydraulic calculation；finite volume method(FVM)

   天然氣管網(wǎng)穩(wěn)態(tài)分析是天然氣管網(wǎng)設計和改造的依據(jù)，是進行管網(wǎng)動態(tài)模擬和分析的基礎，也是加強天然氣管網(wǎng)系統(tǒng)優(yōu)化運行以及確定最優(yōu)改擴建方案的基礎。管道模擬準確與否關鍵在于所建立的數(shù)學模型能否準確、全面地描述管內流動過程以及能否找到快速求解模型且收斂性好的方法。

   在HARDY等人提出迭代法解非線性方程后，目前常用的穩(wěn)態(tài)分析方法有牛頓-拉夫遜(Newton-Raphson)法、線性逼近法、流體網(wǎng)絡理論。管延文、段常貴等都曾用牛頓-拉夫遜法進行過計算^[1～2]。牛頓-拉夫遜法是求解天然氣管網(wǎng)穩(wěn)態(tài)分析節(jié)點法數(shù)學模型的常用算法，但它有兩個主要缺點：①每次迭代都要計算雅可比矩陣及其逆矩陣，計算量大；②對迭代初始值要求比較高，如不能提供較好的初始值，則收斂較慢，甚至計算過程發(fā)散^[3]。國內的姜東琪等^[4]和國外的KE^[5]也采用線性逼近法對燃氣管網(wǎng)進行過水力計算。KE和TA0等人利用流體網(wǎng)絡理論對管網(wǎng)進行了穩(wěn)態(tài)模擬^[6～7]。西南石油大學對燃氣管網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)計算方法進行了研究，分別應用節(jié)點法和環(huán)路法進行求解，但在計算中忽略了壓縮因子對氣體流動的影響^[8]。進行管網(wǎng)水力計算時，必須考慮管道中燃氣的可壓縮性。

    本文采用SIMPLE改進算法，用有限容積法(FVM)導出的離散方程可以保證具有守恒特性，而且離散方程系數(shù)的物理意義明確。這克服了采用有限差分法求解管網(wǎng)流動偏微分方程的多種困難；也可以克服管網(wǎng)計算中各管段管徑不同，以及在連接處流量突變的困難。對不同的管段進行長度不同的離散容積劃分，不會影響計算結果的連續(xù)性和迭代的收斂穩(wěn)定性。而傳統(tǒng)方法離散時，為了保證計算結果收斂，必須對長管段進行很細密的網(wǎng)格劃分，導致計算時間很長且無法保證數(shù)值解的守恒性。根據(jù)有限容積法離散方程的特點，可以采用高效的TDMA算法，存儲量很小^[9]。

   ① 管道數(shù)學模型

   管道內氣體流動數(shù)學模型由動量方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程組成^[10]，見式(1)。因為管道內溫度變化很小，所以不考慮能量方程。

 

式中ρ——燃氣密度，kg/m³

    u——燃氣速度，m/s

    x——管道軸向坐標，m

    p——燃氣壓力，Pa

    g——重力加速度，m/s²

    ρ_a——空氣密度，kg/m³

    α——管道與水平面夾角，rad

    λ——管道摩擦阻力系數(shù)

    d——管道內徑，m

    z——壓縮因子

    R——氣體常數(shù)，J/(kg·K)

    T——燃氣溫度，K

   ② 模型的簡化

   a. 在動量方程中，對流項只在燃氣流速極大(接近聲速)時才有意義，而通常管道中燃氣流速不大于40m/s。此外，在高壓管網(wǎng)瞬態(tài)變化中，對流項相對于其他項數(shù)值較小，可以忽略^[11]。b.在城市燃氣管網(wǎng)中，管道的標高差值不太大，因此，動量方程中的重力項g(ρ-ρ_a)sinα一般忽略不計。

    通過簡化，可以得到仿真數(shù)學模型，見式(2)。

 

式中C——常量

   ③ 摩擦阻力系數(shù)

   管道摩擦阻力系數(shù)除與燃氣性質、管道材質等因素有關外，還與燃氣的流動狀態(tài)有關。不分低壓和高中壓管道，統(tǒng)一按流動狀態(tài)和管道材質來分類選取計算公式，進行燃氣管道摩擦阻力系數(shù)的計算^[12]。

   ① 數(shù)學模型的求解

   在計算氣體穩(wěn)定流動時，利用有限容積法一維交錯網(wǎng)格將壓力-速度耦合方程中不同的變量離散式存儲在不同的網(wǎng)格系統(tǒng)，將式(2)中的動量方程進行離散，見式(3)。i節(jié)點是速度控制容積的中心節(jié)點，I節(jié)點是壓力控制容積的中心節(jié)點。

 

式中a_i——i節(jié)點的離散方程系數(shù)，kg/s

    u_i——i節(jié)點的速度，m/s

    n——i節(jié)點周圍的節(jié)點數(shù)

    a_j——i節(jié)點周圍各節(jié)點的離散方程系數(shù)，kg/s

    u_j——i節(jié)點周圍各節(jié)點的速度，m/s

    p_I-1——I-1節(jié)點的壓力，Pa

    p_I——I節(jié)點的壓力，Pa

    A_i——速度控制容積的界面面積，m²

    b_i——方程源項，(kg·m)/s²

   在初始壓力下：

 

式中u_i^*——初始壓力下i節(jié)點的速度，m/s

    u_j^*——初始壓力下，i節(jié)點周圍各節(jié)點的速度，m/s

    p_I-1^*——I-1節(jié)點的初始壓力，Pa

    p_I^*——I節(jié)點的初始壓力，Pa

    設修正的壓力方程為：

    p=p^*+p′    (5)

式中p′——壓力修正值，Pa

    設修正的速度方程為：

    u=u^*++u′    (6)

式中u′——速度修正值，m/s

    由式(4)～(6)得：

 

式中u_i′——i節(jié)點速度修正值，m/s

    u_j′——i節(jié)點周圍各節(jié)點速度修正值，m/s

    p_I-1′——I-1節(jié)點的壓力修正值，Pa

    p_I′——I節(jié)點的壓力修正值，Pa

由于式(7)第一項是周圍節(jié)點速度引起的修正值，值很??；而第二項是同一方向相鄰節(jié)點壓力差引起的修正值，影響較大。故為簡化計算，略去第一項，并由式(6)、(7)得到速度的改進值：

 

   將速度改進值代入方程組(2)的連續(xù)性方程中，并將壓力修正值p′的系數(shù)歸一化處理，得到壓力修正方程：

    a_Ip_I′=a_I+1p_I+1′+a_I-1p_I-1′+b_I′    (9)

式中a_I——I節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    a_I+1——I+1節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    p_I+1′——I+1節(jié)點的壓力修正值，Pa

    a_I-1——I-1節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    b_I′——由于速度場的不正確引起的不平衡量，kg/s

   經(jīng)過多次迭代修正，最終b_I′是否趨于0可以作為判斷迭代過程是否滿足要求的判據(jù)。

   在計算時，管道內氣體壓力和流速的分布采用雙精度Simple方法的PIS0模型進行求解。即通過壓力預測一修正方法，包括1個預測步驟和2個校正步驟，不斷地修正計算結果，反復迭代，最后求出壓力和速度的收斂解。

   ② 程序編制

   采用VB編寫計算程序，對網(wǎng)格參數(shù)、壓力參數(shù)內循環(huán)迭代的計算均采用穩(wěn)定且快速收斂的TDMA方法。

   為驗證燃氣管網(wǎng)仿真軟件是否準確，英國氣體公司倫敦研究站(LRS)采用了一組不同管徑、流量下符合實際的燃氣的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)進行驗證。在相同的管徑、流量條件下，本文采用FVM方法進行穩(wěn)態(tài)仿真，并將仿真結果與新加坡國立大學采用電網(wǎng)絡傳輸線理論的模擬結果進行對比。

   p₁，p₂，p₃，p₄，p₅分別表示管道被平均分為4段后，5個節(jié)點處的壓力值。FVM方法的仿真結果與LRS的數(shù)據(jù)對比見表1，新加坡國立大學的電網(wǎng)絡傳輸線理論模擬結果與LRS的數(shù)據(jù)對比見表2。

    由表1可知，運用FVM方法的仿真結果與LRS的數(shù)據(jù)非常接近，平均相對誤差小于1.000%。表1與表2對比可知，F(xiàn)VM方法的仿真結果更準確。采用FVM方法具有較快的運算速度和較好的收斂性，為管網(wǎng)的動態(tài)分析提供了基礎，可以滿足工程的需要，對于管網(wǎng)的設計和安全控制都有重要的參考作用。

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(本文作者：劉曉婧 周偉國 王海 同濟大學機械工程學院 上海 201804)